Ejemplo barra

Discretizando la barra en un elemento de dos nodos, la matriz de rigidez local sera $2 \times 2$ y la matriz de rigidez global sera $2 \times 2$:

\begin{eqnarray} \color{Blue} {\boldsymbol{N}} &=& \left [ \begin{matrix} N_{1} & N_{2} \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \xi & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \xi \end{matrix} \right ] \\\ \boldsymbol{B_{f}} &=& \left [ \begin{matrix} \frac{\partial N_{1}}{\partial x} & \frac{\partial N_{2}}{\partial x} \end{matrix} \right ] \end{eqnarray}

Usando la regla de la cadena:

\begin{equation} \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial N}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} \end{equation}

Las funciones usadas para interpolar los desplazamientos están en coordenadas locales, para obtener la matriz de deformaciones debemos calcular el jacobiano y el jacobiano inverso:

\begin{eqnarray} J = \frac{\partial x}{\partial \xi} \\\ J^{-1} = \frac{\partial \xi}{\partial x} \end{eqnarray}

La función que interpola la geometría es:

\begin{equation} x = \Big ( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \xi \Big ) x_{1} + \Big ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \xi \Big ) x_{2} \end{equation}

Derivando:

\begin{equation} \frac{\partial x}{\partial \xi} = \frac{x_{2} - x_{1}}{2} = \frac{l}{2} \end{equation}

La matriz de deformaciones es:

\begin{eqnarray} \color{Blue} {B_{f}} &=& \left [ \begin{matrix} \frac{\partial N_{1}}{\partial \xi} & \frac{\partial N_{2}}{\partial \xi} \end{matrix} \right ] \Big ( \frac{\partial \xi}{\partial x} \Big ) \\\ &=& \left [ \begin{matrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right ] \Big ( \frac{2}{l} \Big ) \\\ &=& \left [ \begin{matrix} -\frac{1}{l} & \frac{1}{l} \end{matrix} \right ] \end{eqnarray}

La matriz de rigidez es:

\begin{eqnarray} K &=& \int_{-1}^{+1} \left[ \begin{matrix} \frac{1}{l^{2}} & -\frac{1}{l^{2}} \\\ -\frac{1}{l^{2}} & \frac{1}{l^{2}} \end{matrix} \right] A E \ \frac{l}{2} \ d\xi \\\ &=& \left[ \begin{matrix} \frac{A E}{l} & -\frac{A E}{l} \\\ -\frac{A E}{l} & \frac{A E}{l} \end{matrix} \right] \end{eqnarray}

La matriz de cargas uniformes:

\begin{eqnarray} f &=& \int_{-1}^{+1} \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \xi \\\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \xi \end{matrix} \right] (1000) \Big ( \frac{l}{2} \Big ) \ d\xi \\\ &=& \left[ \begin{matrix} 500 l \\\ 500 l \end{matrix} \right] \end{eqnarray}

La matriz de cargas nodales:

\begin{equation} q = \left[ \begin{matrix} A_{x} \\\ B_{x} \end{matrix} \right] \end{equation}

Ensamblando matrices:

\begin{equation} \left[ \begin{matrix} \frac{A E}{l} & -\frac{A E}{l} \\\ -\frac{A E}{l} & \frac{A E}{l} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} u_{1} \\\ u_{2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 500 l \\\ 500 l \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} A_{x} \\\ B_{x} \end{matrix} \right] \end{equation}

Agregando las condiciones de contorno y reemplazando datos:

\begin{equation} \left[ \begin{matrix} 1 \times 10^{9} & -1 \times 10^{9} \\\ -1 \times 10^{9} & 1 \times 10^{9} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\\ u_{2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1000 \\\ 1000 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} A_{x} \\\ 250 \end{matrix} \right] \end{equation}

Sumando fuerzas:

\begin{equation} \left[ \begin{matrix} 1 \times 10^{9} & -1 \times 10^{9} \\\ -1 \times 10^{9} & 1 \times 10^{9} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\\ u_{2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1000 + A_{x} \\\ 1250 \end{matrix} \right] \end{equation}

Resolviendo el sistema:

\begin{eqnarray} u_{2} &=& 1.25 \times 10^{-6} \ [m] \\\ A_{x} &=& -2250 \ [N] \end{eqnarray}

Discretizando la barra en dos elementos de dos nodos, la matriz de rigidez local sera $2 \times 2$ y la matriz de rigidez global sera $3 \times 3$:

La matriz de rigidez del elemento 1:

\begin{eqnarray} K^{(1)} &=& \int_{-1}^{+1} \left[ \begin{matrix} \frac{1}{l^{2}} & -\frac{1}{l^{2}} \\\ -\frac{1}{l^{2}} & \frac{1}{l^{2}} \end{matrix} \right] A E \ \frac{l}{2} \ d\xi \\\ &=& \left[ \begin{matrix} \frac{A E}{l} & -\frac{A E}{l} \\\ -\frac{A E}{l} & \frac{A E}{l} \end{matrix} \right] \end{eqnarray}

La matriz de cargas uniformes del elemento 1:

\begin{eqnarray} f^{(1)} &=& \int_{-1}^{+1} \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \xi \\\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \xi \end{matrix} \right] (1000) \Big ( \frac{l}{2} \Big ) \ d\xi \\\ &=& \left[ \begin{matrix} 500 l \\\ 500 l \end{matrix} \right] \end{eqnarray}

La matriz de rigidez del elemento 2:

\begin{eqnarray} K^{(2)} &=& \int_{-1}^{+1} \left[ \begin{matrix} \frac{1}{l^{2}} & -\frac{1}{l^{2}} \\\ -\frac{1}{l^{2}} & \frac{1}{l^{2}} \end{matrix} \right] A E \ \frac{l}{2} \ d\xi \\\ &=& \left[ \begin{matrix} \frac{A E}{l} & -\frac{A E}{l} \\\ -\frac{A E}{l} & \frac{A E}{l} \end{matrix} \right] \end{eqnarray}

La matriz de cargas uniformes del elemento 2:

\begin{eqnarray} f^{(2)} &=& \int_{-1}^{+1} \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \xi \\\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \xi \end{matrix} \right] (1000) \Big ( \frac{l}{2} \Big ) \ d\xi \\\ &=& \left[ \begin{matrix} 500 l \\\ 500 l \end{matrix} \right] \end{eqnarray}

La matriz de cargas nodales:

\begin{equation} q = \left[ \begin{matrix} A_{x} \\\ 0 \\\ B_{x} \end{matrix} \right] \end{equation}

Ensamblando matrices:

\begin{equation} \left[ \begin{matrix} \frac{A E}{l} & -\frac{A E}{l} & 0 \\\ -\frac{A E}{l} & \frac{A E}{l} + \frac{A E}{l} & -\frac{A E}{l} \\\ 0 & -\frac{A E}{l} & \frac{A E}{l} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} u_{1} \\\ u_{2} \\\ u_{3} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 500 l \\\ 500 l + 500 l \\\ 500 l \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} A_{x} \\\ 0 \\\ B_{x} \end{matrix} \right] \end{equation}

Agregando las condiciones de contorno y reemplazando datos:

\begin{equation} \left[ \begin{matrix} 2 \times 10^{9} & -2 \times 10^{9} & 0 \\\ -2 \times 10^{9} & 4 \times 10^{9} & -2 \times 10^{9} \\\ 0 & -2 \times 10^{9} & 2 \times 10^{9} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\\ u_{2} \\\ u_{3} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 500 \\\ 1000 \\\ 500 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} A_{x} \\\ 0 \\\ 250 \end{matrix} \right] \end{equation}

Sumando fuerzas:

\begin{equation} \left[ \begin{matrix} 2 \times 10^{9} & -2 \times 10^{9} & 0 \\\ -2 \times 10^{9} & 4 \times 10^{9} & -2 \times 10^{9} \\\ 0 & -2 \times 10^{9} & 2 \times 10^{9} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\\ u_{2} \\\ u_{3} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 500 + A_{x} \\\ 1000 \\\ 750 \end{matrix} \right] \end{equation}

Resolviendo el sistema:

\begin{eqnarray} u_{2} &=& 8.75 \times 10^{-7} \ [m] \\\ u_{3} &=& 1.125 \times 10^{-6} \ [m] \\\ A_{x} &=& -2250 \ [N] \end{eqnarray}